分式方程的增根 - 高中数学学习笔记
分式方程的增根（十）
下面我们通过解题的思路来学习分式方程增根的概念。例如：已知分式方程1/x 1/(x-1)=1/(x-2)有两个根x1,x2（假设x1＜x2），那么在x1＜x＜x2范围内这个方程就没有根，这称为增根，反之则称为减根。那么，如何确定增根个数呢？
我们可以先猜测增根个数，再用前一项减去后一项，把未知数从分母中约分掉，得到一个关于x的不等式，将不等式的解域对应到根的范围上，验证我们所猜测的增根个数是否正确。
例如：已知分式方程1/x 1/(x−1)=1/(x−2)，猜测增根个数为1，要求确定增根位置。
- 因为增根在x1和x2之间，所以用x2-x1=k（k＞0，k为整数）来表示增根位置。
- 将k带入1/x 1/(x−1)=1/(x−2)的前一项减去后一项的式子中，约分后得到
(1 k)/(x(x-1)(x-2))>0
- 把这个不等式的解域对应到增根位置x1和x2的范围上，得到-1＜k＜0，与实际不符，因此原先的猜测是错误的，要猜测增根个数为2。
- 将k=2带入1/x 1/(x−1)=1/(x−2)的前一项减去后一项的式子中，约分后得到-1/(x(x-1)(x-2))>0。
- 把这个不等式的解域对应到增根位置x1和x2的范围上，得到增根个数为2。
通过以上例题，我们看出一个重要结论：当分式方程1/x 1/(x-1)=1/(x-2)的增根个数为k时，不等式(1 k)/(x(x-1)(x-2))<0的解域对应于k个增根在x1和x2（x1＜x2）之间的k个区间。
