我们来推导下arcsin导数公式。
公式推导
设y=arcsinx，x=siny，双方同时对x求导有：
$$\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}siny$$$$1 = cosy\frac{d}{dx}y$$$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\frac{d}{dy}\sin y}\Big|_{y=sin^{-1}x}$$$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\cos y}\Big|_{y=sin^{-1}x}$$$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
注释说明
- arcsin界说域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；
- sinx和cosx的导数：$$(\sin x)'=\cos x$$$$(\cos x)'=-\sin x$$
上式是关于x的导数，因此可以示意为：
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
这就是arcsin函数的导数。
